第四章：随机变量的函数分布

4.1 离散型随机变量的函数分布

4.1.1 一维离散型随机变量的函数分布律

定理

设离散型随机变量 \(X\) 的分布律为：

\[P\{X=x_i\}=p_i,\quad i=1,2,...\]

1. 若对于 \(X\) 的不同取值 \(x_i\)，\(Y=g(X)\) 的取值 \(g(x_i)=y_i\) 也不同，则随机变量 \(Y=g(X)\) 的分布律为： \[P\{Y=y_i\}=P\{g(X)=g(x_i) \}=P\{X=x_i\}=p_i,\quad i=1,2,\cdots\]

2. 若对于 \(X\) 的有限个或可列无穷多个不同的取值 \(x_{i_k}\)，有 \(g(x_{i_1})=g(x_{i_2})=\cdots =y^*\)，则有 \[P\{Y=y^*\}=P\{g(X)=y^*\}=\sum\limits_k P\{X=x_{i_k}\}\]

4.1.2 二维离散型随机变量的函数分布律

定理

设离散型随机变量 \((X,Y)\) 的分布律为：

\[P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}\quad i,j=1,2,\dots\]

1. 若对于 \((X,Y)\) 的不同取值 \((x_i,y_i)\) ，随机变量 \(Z=g(X,Y)\) 的取值 \(g(x_i,y_j)\) 也不同，则随机变量 \(Z=g(X,Y)\) 的分布律为： \[P\{Z=z_{ij}\}=p\{g(X,Y)=g(x_i,y_j) \}=p\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}\quad i,j=1,2,...\]

2. 对于 \((X,Y)\) 的有限个或可列无穷多个不同取值 \((x_{i_k},y_{j_k})\)，有\(g(x_{i_k},y_{j_k})=z^*\)，则 \[P\{Z=z^*\}=P\{g(X,Y)=z^*\}=\sum\limits_k P\{X=x_{i_j},Y=y_{j_k}\}\]

4.2 一维连续型随机变量的函数分布

定理

设连续型随机变量 \(X\) 的概率密度为 \(f(x)\)，函数 \(y=g(x)\) 再区间 \((a,b)\) 上严格单调，其反函数 \(x=h(y)\)，有连续导数，则 \(Y=g(X)\) 是一个连续型随机变量，其概率密度为：

\[f_Y(y)= \begin{cases} f[h(y)]\cdot|h'(y)|,&y\in(c,d)\\ 0,&其它 \end{cases}\]

其中 \((c,d)\) 为 \(y=g(x)\) 的值域。

\(y=g(x)\) 在区间 \((a,b)\) 上严格单调递增，\(h'(y)>0\)

\(y=g(x)\) 在区间 \((a,b)\) 上严格单调递减，\(h'(y)<0\)

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若函数 \(y=g(x)\) 不是严格单调的，但是在不相重叠的区间 \(I_1,I_2,\dots\) 上逐段严格单调，其反函数分别为 \(h_1(y),h_2(y),\dots\)，而且 \(h'_1(y),h'_2(y),\dots\)均连续，则\(Y=g(X)\) 是一个连续型随机变量，其概率密度为：

\[f_Y(y)= \begin{cases} f[h_1(y)]\cdot|h'_1(y)|+f[h_2(y)]\cdot|h'_2(y)|+\cdots,&y\in I^*\\ 0,&y\notin I^* \end{cases}\] 其中，\(I^*\) 是使得 \(h'_1(y),h'_2(y),\dots\) 连续的 \(y\) 的集合。

4.3 二维连续型随机变量的函数分布

一般方法：\(F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{g(X,Y)\leq z\}\) \[f_Z(z)=\dfrac{dF_Z(z)}{dz}\quad F_Z(z)=\int^z_{-\infty}f_Z(u)\,du\] 几个具体函数的分布：

• \(Z=X+Y\) 的分布
• \(Z=\max(X,Y)\) 的分布
• \(Z=\min(X,Y)\) 的分布

4.3.1 \(Z=X+Y\) 的分布

设二维连续型随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度为 \(f(x,y)\)，则 \(Z=X+Y\) 是连续型随机变量。 \[f_Z(z)=\int ^{+\infty}_{-\infty}f(x,z-x)\,dx\\ F_Z(z)=\int^{z}_{-\infty}f_Z(u)\,du\]

4.3.2 \(Z=\max(X,Y)\) 的分布

设 \((X,Y)\) 的概率密度为 \(f(x,y)\)，分布函数为 \(F(x,y)\)，对任意实数 \(z\)，\(Z=\max(X,Y)\) 的分布函数 \[F_{\max}(z)=F(z,z)=\int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^zf(x,y)\,dxdy\] \(Z=\max(X,Y)\) 的概率密度 \[f_{\max}(z)=F'_{\max}(z)\]

4.3.3 \(Z=\min(X,Y)\) 的分布

设 \((X,Y)\) 的概率密度为 \(f(x,y)\)，分布函数为 \(F(x,y)\)，对任意实数 \(z\)，\(Z=\min(X,Y)\) 的分布函数 \[\begin{aligned} F_\min(z)=&1-\int_z^{+\infty}\int_z^{+\infty}f(x,y)\,dxdy\\ =&F_X(z)+F_Y(z)-F(z,z) \end{aligned}\] \(Z=\min(X,Y)\) 的概率密度 \[f_{\min}(z)=F'_{\min}(z)\]